이전 글에서 동차 좌표계의 $w \neq 0$인 경우에 대해 알아보았는데, 경우에 따라서 $w = 0$인 경우도 있을 수 있다. 이번 장에서는 $w = 0$인 경우와 $w \neq 0$인 경우가 어떤 차이가 있는지에 대해 알아보도록 한다. 먼저 동차 좌표계는 $(x, y, w)$와 같이 나타낼 수 있으며, $w \neq 0$일 때는 $w$로 나누면 항상 $(\frac{x}{w}, \frac{y}{w}, 1)$가 되어 직교 좌표를 구할 수 있었다. 이제 $w$가 $0$으로 수렴한다고 가정해보자. $w \neq 0$일 때는 $w$로 나눠서 아핀 공간의 점 $(\frac{x}{w}, \frac{y}{w})$에 대응할 수 있었던 것과는 달리, $w\rightarrow0$일 때는 $(\infty, \infty)$..

이전 글에서 아핀 변환에 대해 알아보았는데, 마지막 부분에 해당 글에서 소개한 아핀 변환에 대한 정보로는 컴퓨터 그래픽스에서 실용성이 떨어진다고 언급하였다. 이번 글에서는 그 이유와, 해결 방법인 동차 좌표계(Homogeneous Coordinates)에 대해 알아보자. 선형 변환의 장점은 행렬로 나타낸 여러 선형 변환들을 합성하여 하나의 행렬로 나타낼 수 있으며, 이로 인해 각 벡터에 모든 선형 변환을 차례로 적용하는게 아니라, 합성된 선형 변환 하나만 곱해주면 되므로 계산이 훨씬 줄어든다. $$ L_0(\mathbb{x}) = M_0\mathbb{x} \\ L_1(\mathbb{x}) = M_1\mathbb{x} \\ \vdots \\ L_{n-1}(\mathbb{x}) = M_{n-1}\mathbb..

아핀 변환(Affine Transformation)은 위키피디아에 다음과 같이 정의되어 있다. In Euclidean geometry, an affine transformation, or an affinity (from the Latin, affinis, "connected with"), is a geometric transformation that preserves lines and parallelism (but not necessarily distances and angles). 유클리드 기하학에서, 아핀 변환은 선과 평행성을 보존하는 (하지만 거리와 각은 반드시 그렇지는 않은) 기하 변환이다. If X is the point set of an affine space, then every affine..

이전 글에서 점이 정의되는 아핀 공간에 대해 알아보았다. 점과 점의 뺄셈을 통해 벡터를 만들 수 있고, 점과 벡터를 더해서 새로운 점을 만들 수 있었다. 하지만 점과 점의 덧셈은 일반적으로 정의되지 않는다고 했는데, 왜 그런지 알아보자. 아핀 공간의 임의의 원점 $W = (w_0, w_1)$과 표준 기저벡터에 대해 점 $p$는 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$ p = (p_0 - w_0, \; p_1 - w_1) $$ 이제 위 식과 같은 원점과 기저에 대해 정의된 두 점 $a, b$가 있다고 하자. $$ a = (a_0 - w_0, \; a_1 - w_1), \; b = (b_0 - w_0, \; b_1 - w_1) $$ 아핀 공간이 덧셈에 닫혀있다면 두 점을 선형 결합한 결과가 식 $p$꼴로 나타나야..

지금까지 크기와 방향에 대한 정보를 가지고 있는 벡터(Vector)에 대해 다루었는데, 벡터는 벡터 공간에 존재하며, 벡터 공간은 벡터들에 대한 공리 및 성질들이 정의되어 있었다. 이제 점(Point)이 정의되는 공간인 아핀 공간(Affine Space)에 대해 알아보자. 먼저, 아핀 공간은 다음과 같이 정의된다. $V$를 체 $K$ 위에 벡터 공간, $A$를 비어 있지 않은 집합이라고 했을 때, 어떤 벡터 $a \in V$와 원소 $p \in A$에 대하여 $p + a \in A$를 만족하는 덧셈 연산이 정의되어 있다고 하자. 이 때, 벡터 공간 $V$와 연관된 아핀 공간 $A$는 다음 조건들을 만족한다. $p + 0 = p$ (항등원) $(p + a) + b = p + (a + b)$ (결합 법칙) ..

이전 글에서 선형 결합과 선형 독립, 기저에 대해 알아보았다. 이제 선형 변환(linear transformation)에 대해 알아보자. 변환(transformation)이란, $n$-차원의 공간을 $m$-차원의 공간으로 사상(mapping)하는 함수를 말하며, 다음과 같이 표기한다. $$ T : \mathbb{R^n} \mapsto \mathbb{R^m} $$ 예를 들어, 다음 함수 $f(x, y)$는 $\mathbb{R^2}$에서 $\mathbb{R}$으로 사상하는 함수이다. $$ f(x, y) = x^2 + y^2 $$ 체 $F$ 위의 벡터 공간 $V$에서 $W$로 사상하는 선형 변환 $T$는 다음 두 가지의 중요한 성질을 만족한다. $ T(v_0 + v_1) = T(v_0) + T(v_1) \;\..