6. 아핀 변환 (Affine Transformation)

아핀 변환(Affine Transformation)은 위키피디아에 다음과 같이 정의되어 있다.

In Euclidean geometry, an affine transformation, or an affinity (from the Latin, affinis, "connected with"), is a geometric transformation that preserves lines and parallelism (but not necessarily distances and angles).

유클리드 기하학에서, 아핀 변환은 선과 평행성을 보존하는 (하지만 거리와 각은 반드시 그렇지는 않은) 기하 변환이다. 

If X is the point set of an affine space, then every affine transformation on X can be represented as the composition of a linear transformation on X and a translation of X. Unlike a purely linear transformation, an affine transformation need not preserve the origin of the affine space. Thus, every linear transformation is affine,but not every affine transformation is linear.

만약 $X$가 아핀 공간의 점 집합이면, $X$에 대한 모든 아핀 변환은 $X$에 대한 선형 변환과 평행 이동의 합성으로 나타낼 수 있다. 순수 선형 변환과는 달리, 아핀 변환은 아핀 공간의 원점을 보존할 필요가 없으며, 그러므로 모든 선형 변환은 아핀 변환이지만 모든 아핀 변환이 선형 변환은 아니다.

 

(위키피디아를 보면 항상 그렇듯..) 무슨 말인지 이해가 안갈 수 있는데, 하나씩 알아보겠다.

 

먼저, 아핀 변환은 선형 변환($L$)과 평행 이동($t$)으로 구성되어 있다.

아핀 변환 = 선현 병환 + 평행 이동

$$ A(x) = L(x) + t $$

즉, 아핀 변환은 벡터를 선형 변환한 후 평행 이동 시킨 것 이라 볼 수 있는데, 여기서 평행 이동 $t$를 $0$ 벡터로 두면 선형 변환이 된다. 그래서 모든 선형 변환(회전, 크기, 밀기 변환 등)은 평행 이동이 없는 아핀 변환이라 볼 수 있지만, 아핀 변환은 평행 이동이 없어야 선형 변환이 될 수 있다. 또한 $0 \rightarrow 0$로 원점을 보존하는 선형 변환과는 달리, 아핀 변환은 원점을 항상 보존하지는 않는다.

 

다음으로, 아핀 변환은 점들의 아핀 결합을 보존하는 변환이다. 이전 글에서 아핀 결합은 점, 선 면, 등을 생성한다는 것을 알 수 있었는데, 아핀 결합으로 생성된 점, 선, 면 등에 아핀 변환을 적용한 결과가 각 점을 아핀 변환 후 아핀 결합한 결과와 같다는 것이다.

아핀 결합 보존

$$ A(\sum_{i=0}^{n-1}x_iP_i) = \sum_{i=0}^{n-1}x_iA(P_i) $$

 

아핀 결합이 보존 되는 결과로 인해, 선$\rightarrow$선, 평면$\rightarrow$평면으로 보존된다.

선, 평면 등 보존

 

또한, 평행했던 선과 평면들은 아핀 변환 후에도 평행성을 유지한다.

평행성 보존

아핀 변환은 선형 변환과 평행 이동으로 구성되어 있는데, 평행 이동은 평행성에 영향을 주지 않으므로 선형 변환이 평행성을 유지하는지만 확인하면 된다.

선형 변환 $L(x) = Mx$와 직선 $l_0(t) = t\overrightarrow v$, 벡터 $w$만큼 평행 이동한 직선 $l_1(t) = l_0(t) + \overrightarrow w$이 있으면, 두 직선의 선형 변환 결과는 각각 다음과 같다.

$$  L(l_0(t)) = Ml_0(t) \\ L(l_1(t)) = M(l_0(t) + \overrightarrow w) = Ml_0(t) + M\overrightarrow w $$

직선 $L(l_1(t))$는 결국 직선 $L(l_0(t))$를 $M\overrightarrow w$만큼 평행 이동한 직선 이므로 선형 변환은 평행성을 유지한다는 것을 알 수 있다.

 

지금까지 아핀 변환의 정의와 성질에 대해 알아보았다. 점을 평행 이동할 수 있게 해주는 아핀 변환도 그냥 사용하기에는 실용적이지 못한데, 다음 글에서 동차 좌표계(Homogeneous Coordinates)에 대해 알아보면서 그 이유와 해결 방안에 대해 알아보겠다.