7. 동차 좌표계(Homogeneous Coordinates)와 아핀 변환 행렬(Affine Transformation Matrix)

이전 글에서 아핀 변환에 대해 알아보았는데, 마지막 부분에 해당 글에서 소개한 아핀 변환에 대한 정보로는 컴퓨터 그래픽스에서 실용성이 떨어진다고 언급하였다. 이번 글에서는 그 이유와, 해결 방법인 동차 좌표계(Homogeneous Coordinates)에 대해 알아보자.

 

선형 변환의 장점은 행렬로 나타낸 여러 선형 변환들을 합성하여 하나의 행렬로 나타낼 수 있으며, 이로 인해 각 벡터에 모든 선형 변환을 차례로 적용하는게 아니라, 합성된 선형 변환 하나만 곱해주면 되므로 계산이 훨씬 줄어든다.

$$ L_0(\mathbb{x}) = M_0\mathbb{x} \\ L_1(\mathbb{x}) = M_1\mathbb{x} \\ \vdots \\ L_{n-1}(\mathbb{x}) = M_{n-1}\mathbb{x} $$

$$ (L_{n-1}\circ \cdots  \circ L_1 \circ L_0)(\mathbb{x}) = (M_{n-1}\ldots M_1M_0)\mathbb{x} $$

 

이제 아핀 변환에 대해 상기해보자.

아핀 변환은 선형 변환과 평행 이동의 조합으로 다음과 같이 나타낼 수 있음을 알고있다.

$$ A(x) = L(x) + t $$

선형 변환은 행렬로 표현이 가능하므로, 아핀 변환을 다음과 같이 행렬과 벡터의 합으로 나타내보자.

$$ A(\mathbb{x}) = M\mathbb{x} + \mathbb{t}$$

이제 선형 변환과 같이, 아핀 변환을 합성해보자.

$$ A_0(\mathbb{x}) = M_0\mathbb{x} + t_0 \\ A_1(\mathbb{x}) = M_1\mathbb{x} + t_1 \\ (A_1 \circ A_0)(\mathbb{x}) = M_1(M_0\mathbb{x} + t_0) + t_1 = M_1M_0\mathbb{x} + M_1t_0 + t_1 $$

몇 번을 합성해도 항이 하나였던 선형 변환과는 달리, 아핀 변환은 위와 같이 합성할수록 항이 늘어나고 식이 복잡해지며, 변환 횟수가 늘어남에 따라 계산량이 상당히 많아진다.

 

그럼 아핀 변환을 선형 변환으로 만들어 줄 수 없을까?

아핀 변환이 선형 변환이 된다면 회전, 크기, 밀기 변환 등의 선형 변환과 더불어 평행 이동까지 행렬로 표현할 수 있을테니 위의 문제는 해결될테니 말이다.

 

이 질문에 대한 답이 바로 동차 좌표계이다.

 

$n$차원의 좌표 $(x_0, x_1, ..., x_{n-1})$를 $n+1$차원의 좌표 $(wx_0, wx_1, ..., wx_{n-1}, w)$로 표현하는 방법을 동차 좌표계(Homogeneous Coordinates)라고 한다. 동차 좌표는 $w$로 나누면 $(x_0, x_1, ..., x_{n-1}, 1)$가 되는 것을 볼 수 있는데, 이 좌표에서 마지막 $1$을 제외해서 직교 좌표로 변환하면 $(wx_0, wx_1, ..., wx_{n-1}, w)$ 좌표의 점들 또는 이 점들이 형성하는 선이 직교 좌표 $(x_0, x_1, ..., x_{n-1})$에 대응 된다고 볼 수 있다.

$w$는 $0$이 아닌 어떤 값도 될 수 있지만, $w = 1$인 경우 아래에서 소개할 아핀 변환 행렬을 곱해도 결과가 항상 $(x_0', x_1', ..., x_{n-1}', 1)$의 형태이기 때문에 $w$로 나눌 필요 없이 변환된 $n$차원 직교 좌표를 바로 얻을 수 있다. 하지만, 나중에 다룰 투영 변환(Projection Transformation)은 $w$의 값을 $1$로 반드시 보존하는 것은 아니라는 것만 기억하자.

 

이제 동차 좌표계란 개념이 아핀 변환을 어떻게 선형 변환으로 만들어 줄 수 있는지 알아보자.

(사진 출처)

 

먼저, 2차원 평면에서 다음과 같은 점 집합을 평행 이동 시킨다고 해보자.

이 점 집합을 2차원에서 평행 이동 시키기 위해서는 아핀 변환을 이용해야하므로 선형 변환으로는 평행 이동 시킬 수 없다. 여기서 차원을 하나 증가시켜서 3차원 $z = 1$에 위 평면을 끼워 넣으면 다음과 같을 것이다.

이 상태에서 $z = 1$ 평면에 있는 점 집합 $(x, y, 1)$을 $xy$평면에 투영하면 다음과 같은 모형을 예상할 수 있다.

이 상태에서 $z = 1$ 평면에 있는 점 집합 $(x, y, 1)$를 $x$축 또는 $y$축으로 평행 이동 시켜보자.

평행 이동 전, 후의 모양을 보면 3차원 공간에서 선형 변환 중 하나인 전단 변환(밀기 변환, Shear Transformation)이 적용된 것을 알 수 있다. 즉, 3차원 공간에서 $(x, y, 1)$ 좌표의 점들을 전단 변환하면 이 점들이 $(x', y', 1)$ 좌표로 평행 이동 된다는 것이다.

 

행렬을 통해 이 과정을 확인해보자.

 

$z$축을 고정시키고 $x, y$축을 전단 시키는 3차원 전단 변환 행렬 $M$은 다음과 같으며, $a, b$는 전단 계수(Shearing Factor)이다.

$$ M = \begin{bmatrix}1 & 0 & a \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

이 행렬에 $(x, y, 1)$ 좌표의 점들을 곱해보자.

$$ \begin{bmatrix}x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}1 & 0 & a \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} =(x + a, \;y + b, \;1) $$

$(x,\;y,\;1)$에서 $(x + a,\;y + b,\;1)$로 점들이 평행 이동된 것을 볼 수 있다.

 

동차 좌표계를 통해 2차원의 평행 이동을 3차원의 밀기 변환 행렬로 표현이 가능함을 확인했다. 2차원 평행 이동과 더불어,  2차원의 모든 선형 변환들 또한 3차원의 선형 변환 행렬로 나타낼 수 있다. 이것을 일반화해서, $n$차원 점들의 아핀 변환은 $n+1$차원의 선형 변환 행렬로 나타낼 수 있는데, 이 $(n+1) \times (n+1)$ 행렬을 아핀 변환 행렬(Affine Transformation Matrix)라고 한다. 아핀 변환 행렬은 다음과 같은 형태를 띄며, $L$은 $n \times n$의 선형 변환 행렬이며, $t$는 평행 이동을 위한 $n$차원의 열벡터($n \times 1$)이다.

$$ A = \begin{bmatrix} L & t \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $$

예를 들어, $30$도 회전 후 $(-1, 2)$만큼 평행 이동하는 행렬은 다음과 같다.

 

지금까지 동차 좌표계에 대해서 알아보았다.

이제 행렬로 평행 이동을 표현할 수 있게 되었으니, 다음 글에서는 프레임 $(O,\;\alpha)$을 프레임 $(O',\;\beta)$로 변환하는 변환에 대해서 알아보겠다. (프레임은 좌표를 나타내기 위해 기준이 되는 원점과 기저 쌍을 말한다.)