7+. 동차 좌표계 (보충)

이전 글에서 동차 좌표계의 $w \neq 0$인 경우에 대해 알아보았는데, 경우에 따라서 $w = 0$인 경우도 있을 수 있다. 이번 장에서는 $w = 0$인 경우와 $w \neq 0$인 경우가 어떤 차이가 있는지에 대해 알아보도록 한다.

 

먼저 동차 좌표계는 $(x, y, w)$와 같이 나타낼 수 있으며, $w \neq 0$일 때는 $w$로 나누면 항상 $(\frac{x}{w}, \frac{y}{w}, 1)$가 되어 직교 좌표를 구할 수 있었다. 이제 $w$가 $0$으로 수렴한다고 가정해보자. $w \neq 0$일 때는 $w$로 나눠서 아핀 공간의 점 $(\frac{x}{w}, \frac{y}{w})$에 대응할 수 있었던 것과는 달리, $w\rightarrow0$일 때는 $(\infty, \infty)$이 되어 아핀 공간에 대응하는 점을 구할 수 없다. 이렇게 $w\rightarrow0$일 때 직교 좌표에서 무한대로 발산하는 동차 좌표 $(x, y, 0)$을 무한 원점(Point at Infinity)라고 한다.

무한 원점이라는 개념이 유용한 이유는 무한 원점을 벡터라고 간주할 수 있기 때문이며, 직교 좌표 $(x, y)$는 점과 벡터를 구분할 수 없지만 무한 원점을 통해 점$(x, y, 1)$과 벡터$(x, y, 0)$를 구분할 수 있기 때문이다.

 

아핀 공간은 다음 조건을 만족하는 점과 벡터가 있음을 이전에 알아보았었다.

• 점 = 점 + 벡터
• 벡터 = 점 - 점

 

점 $(2, 1, 1)$에서 점 $(5, 3, 1)$을 연결하는 벡터 $(3, 2, 0)$가 있다고 하고, 위 조건을 만족하는지 확인해보자.

• $(2, 1, 1) + (3, 2, 0) = (5, 3, 1)$
  마지막 성분이 $1$이므로 (점 + 벡터)가 점이 된다.
• $(5, 3, 1) - (2, 1, 1) = (3, 2, 0)$
  마지막 성분이 $0$이므로 (점 - 점)은 벡터가 된다.

 

이제 각 축으로 $2$배 스케일 후 $(-1, 2)$ 만큼 평행 이동하는 아핀 변환 행렬을 벡터 $(1, 3, 0)$에 곱해보자.

$$\begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix} = 1 * \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + 3 * \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} + 0 * \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}$$

아핀 변환 행렬의 크기 변환은 적용되고 위치 변환은 적용되지 않는 것을 볼 수 있는데, 이것은 위치가 존재하지 않는 벡터의 개념과 상응한다는 것을 알 수 있다.

 

정리

• 동차 좌표 $(x, y, 1)$는 아핀 공간에서의 점을 나타낸다.
• 동차 좌표 $(x, y, 0)$는 무한 원점이라고 하며, 아핀 공간에서의 벡터를 나타낸다.