5. 아핀 결합(Affine Combination)

이전 글에서 점이 정의되는 아핀 공간에 대해 알아보았다.

 

점과 점의 뺄셈을 통해 벡터를 만들 수 있고, 점과 벡터를 더해서 새로운 점을 만들 수 있었다. 하지만 점과 점의 덧셈은 일반적으로 정의되지 않는다고 했는데, 왜 그런지 알아보자.

 

아핀 공간의 임의의 원점 $W = (w_0, w_1)$과 표준 기저벡터에 대해 점 $p$는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$p = (p_0 - w_0, \; p_1 - w_1)$$

이제 위 식과 같은 원점과 기저에 대해 정의된 두 점 $a, b$가 있다고 하자.

$$a = (a_0 - w_0, \; a_1 - w_1), \; b = (b_0 - w_0, \; b_1 - w_1)$$

아핀 공간이 덧셈에 닫혀있다면 두 점을 선형 결합한 결과가 식 $p$꼴로 나타나야 한다.

$$λa + µb = (λa_0 + µb_0 - (λ + µ)w_0, λa_1 + µb_1 - (λ + µ)w_1)$$

선형 결합의 결과가 아핀 공간에 닫혀있으려면 (λ + µ)의 값이 1이어야 함을 알 수 있다. 즉, 점들의 선형 결합 계수 합이 1어야 한다. 그래서 일반적으로는 덧셈이 정의되지 않는다고 한 것이다.

 

위의 2차원 두 점의 덧셈을 일반화하면 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있다.

$$P = x_0P_0 + x_1P_1 + ··· + x_{n-1}P_{n-1}, \;\; \sum_{i=0}^{n-1} x_i = 1$$

위 조건을 만족하는 점들의 선형 결합을 아핀 결합(Affine Combination)이라 하며, 아핀 결합의 계수들 $(x_0, x_1, ..., x_{n-1})$을 무게중심좌표(Barycentric Coordinates)라고 한다.

 

선형 결합에 참여한 각 벡터를 나머지 벡터들의 선형 결합으로 만들 수 없으면 선형 독립이라 하듯, 아핀 결합에 참여한 각 점을 나머지 점들의 아핀 결합으로 만들 수 없으면 아핀 독립(Affine Independence)이라 한다. 또한, 아핀 독립인 점 집합에서 한 점을 나머지 점에서 빼서 나온 벡터들은 선형 독립이다.

아핀 종속(좌), 아핀 독립(우)

 

 

그럼 점들의 아핀 결합으로 생성되는 도형은 무엇일까?

(아핀 결합에 참여한 점들은 아핀 독립이라 가정)

• 점이 1개인 경우, 점이 생성된다.
  $$P = 1 * P_0$$

• 점이 2개인 경우, 직선이 생성된다.
  $$P = (1 - t) * P_0 + t * P_1$$

• 점이 3개인 경우, 평면이 생성된다.
  $$P = (1 - s - t) * P_0 + t * P_1 + s * P_2$$

 

특히, $0  \leq a_0, a_1, ..., a_{n-1}  \leq 1$인 경우의 아핀 결합을 볼록 결합(Convex Combination)이라고 하며, 이 볼록 결합이 생성하는 점들은 볼록 결합에 참여한 점들을 모두 포함한 볼록 껍질(Convex Hull)을 생성한다.

볼록 껍질인 경우(좌), 볼록 껍질이 아닌 경우(우)

두 점의 아핀 결합은 선(Line)을 생성하지만, 두 점의 볼록 결합은 선분(Line Segment)를 생성한다.

두 점의 볼록 결합 => 선분

세 점의 아핀 결합은 평면(Plane)을 생성하지만, 세 점의 볼록 결합은 삼각형(Triangle)을 생성한다.

세 점의 볼록 결합 => 삼각형

 

 

다음 글에서는 아핀 변환(Affine Transformation)에 대해 알아보자.